Фамилия Баутин образована от прозвища Баут по стандартной модели с суффиксом -ин. Этот суффикс указывает на принадлежность: Баутин — сын или потомок Баута. Само прозвище неоднозначно, и его значение зависело от местности, где жил человек.

В тульских и пермских говорах «баут» — это железный болт. Прозвище могли дать крепкому, упрямому человеку или, возможно, кузнецу, работавшему с металлом. Но в тех же диалектах слово имело и другие значения: паук или овод. В этом случае прозвище отражало внешность или поведение — цепкий, надоедливый, верткий.

Какая из версий правдоподобнее? Скорее всего, прозвище было не единственным в своем роде, а многозначным, и разные носители получали его по разным причинам. В ономастике такие случаи обычны: одно и то же слово в разных регионах давало разные прозвища.

Фамилия Баутин — редкая. Она не связана с известными дворянскими родами или массовыми переселениями. Встречается преимущественно в центральной России и на Урале, что совпадает с ареалом тульских и пермских говоров. Это подтверждает: предки носителей фамилии жили именно там, где слово «баут» было в ходу.

Сравните с однокоренными фамилиями: Баутов, Баутинский, Баутинов. Форма с суффиксом -ин — самая естественная для прозвища на твёрдый согласный, поэтому Баутин — основная и наиболее частотная версия.