Фамилия Баягин — редкий случай, когда на слух она кажется тюркской или кавказской, а по модели образования — чисто русская. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — Баягин, то есть сын или потомок человека по прозвищу Баяга. Основа здесь — не имя, а именно прозвище, и его происхождение неочевидно.

Самый вероятный источник — диалектное слово «баяга». В северных и сибирских говорах (архангельских, вологодских, пермских) «баяга» или «баёк» — это говорун, краснобай, сказочник, от глагола «баять» (говорить, рассказывать). Прозвище Баяга могли дать словоохотливому человеку, сказителю или, наоборот, пустомеле. В этом случае фамилия Баягин — аналог более распространённых Говоров, Балагуров или Сказкиных, но с узкой региональной привязкой к Русскому Северу.

Менее убедительная версия — связь с тюркским корнем «бай» (богатый, господин) и суффиксом -ага (почтенный, старший). Тогда «баяга» могло быть прозвищем зажиточного или важного человека. Однако против этого говорит суффикс -ин: для тюркских основ в русских фамилиях типичен суффикс -ов (Баягов, Баягиров), а -ин встречается реже и обычно при заимствовании через уменьшительные формы. Кроме того, фамилия Баягин не фиксируется в массовом порядке в тюркоязычных регионах, что делает эту гипотезу натянутой.

Встречаемость фамилии крайне низкая. По данным открытых источников, основная масса носителей живёт в России — в Пермском крае, Кировской области и на Урале, что косвенно подтверждает севернорусскую версию. Встречается и вариант Баягин с ударением на второй слог, но это, скорее всего, результат бытовой адаптации.

Итог: Баягин — фамилия, образованная от прозвища Баяга, которое, скорее всего, означало «говорун» или «сказитель». Её носитель — потомок человека, жившего на Русском Севере или Урале и получившего прозвище за любовь к разговорам и историям.