Прозвище Байдуж образовано от украинского прилагательного «байдужий» - «беспристрастный, безразличный», «беззаботный», «не обнаруживающий сочувствия; нечувствительный, неотзывчивый», «не проявляющий заинтересованности». В данном случае, надеясь иметь активного, доброго, отзывчивого мальчика, родители назвали его Байдужем.