Фамилия Байдуж напрямую связана с украинским прилагательным «байдужий». В украинском языке это слово имеет несколько оттенков: «беспристрастный», «безразличный», «беззаботный», а также «неотзывчивый» или «нечувствительный». Значения, на первый взгляд, не самые лестные, но в народной традиции прозвища часто давались с противоположным смыслом — как оберег. Родители могли наречь ребёнка Байдужем, надеясь, что он вырастет активным, добрым и отзывчивым, то есть полной противоположностью прозвищу. Такой приём назывался «защитным именованием»: считалось, что злые силы не позарятся на ребёнка с «плохим» именем.

С точки зрения словообразования, фамилия Байдуж — это чистая основа, без типичных русских суффиксов -ов, -ев или -ин. Это указывает на её украинское или западнорусское происхождение. В среде украинского казачества и крестьянства такие бессуффиксные фамилии были распространены: они фиксировали прозвище в его исходной, «голой» форме. Аналогов по модели — немало: Голод, Непийвода, Безбородько, но Байдуж выделяется именно психологической характеристикой, а не внешностью или занятием.

Встречается фамилия преимущественно на западе Украины, а также среди украинской диаспоры. В России она редка, что подтверждает её локальные корни. Если ваш предок носил фамилию Байдуж, скорее всего, он происходил из среды сельских жителей или казаков, где прозвища давались метко и на века. Никакого отношения к тюркским или другим неславянским корням эта фамилия не имеет, несмотря на экзотичное звучание.