Фамилия Байдужая — редкий пример украинской фамилии, которая сохранила форму прилагательного в женском роде. В русской традиции такие фамилии обычно склоняются, но в украинской среде они могли закрепиться в исходном виде: Байдужая, Байдужий, Байдуже. Если вы встретили именно такой вариант, значит, в роду была женщина, чье прозвище или отчество записали как фамилию без изменений.

В основе фамилии лежит украинское слово «байдужий» — «беспристрастный, безразличный, беззаботный». В словаре украинского языка Б. Гринченко это слово фиксируется именно в значении «равнодушный, нечувствительный». Прозвище Байдужий могли дать человеку с флегматичным характером, который не ввязывался в споры и не проявлял бурных эмоций.

Но есть и другая, более глубокая версия. В народной среде прозвища с отрицательным значением нередко давали как оберег. Родители называли ребенка Байдужим, надеясь, что он вырастет не «бесчувственным», а наоборот — активным, добрым, отзывчивым. Считалось, что злые силы не позарятся на такого «неприметного» человека и не навредят ему. Эта практика широко распространена у славян: достаточно вспомнить фамилии Некрасов, Нелюбов, Неустроев.

По словообразовательной модели фамилия Байдужая относится к типу на -ий/-ая, который в украинской ономастике встречается реже, чем русские фамилии на -ов/-ев. В реестрах запорожских казаков XVII–XVIII веков можно найти прозвища Байдужий, Байдуж — носители таких фамилий часто были выходцами из центральных и восточных областей Украины. Если ваши предки носили фамилию Байдужая, скорее всего, они происходили из украинской среды, где фамилии передавались по материнской линии или записывались по женскому имени главы семьи.

Точных сведений о сословной принадлежности носителей фамилии нет, но прозвищные фамилии такого типа чаще всего встречались среди казаков и крестьян. Дворянские роды редко образовывали фамилии от прилагательных с бытовым значением — это указывает на простое происхождение предков.