Фамилия Байдужая образована от прозвища Байдужий. Оно ведет свое начало от аналогичного украинского прилагательного со значением «беспристрастный, безразличный», «беззаботный», «не обнаруживающий сочувствия; нечувствительный, неотзывчивый», «не проявляющий заинтересованности». Возможно также, что прозвище Байдужий выполняло так называемую «охранительную» функцию и использовалось в качестве оберега. В данном случае, надеясь иметь активного, доброго, отзывчивого мальчика, родители назвали его Байдужим. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Байдужий, со временем получил фамилию Байдужая.