Фамилия Байдужа — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а черта характера, причём поданная с обратным смыслом. Она восходит к украинскому прилагательному «байдужий». В народной речи это слово означало «беспристрастный», «безразличный», «беззаботный», а также «неотзывчивый» и «не проявляющий сочувствия». Казалось бы, странная основа для фамилии — кого назовут равнодушным? Но здесь сработал охранительный принцип имянаречения. Родители, желая видеть сына активным, добрым и отзывчивым, давали ему прозвище с противоположным значением — Байдужа. Считалось, что злые силы не позарятся на «плохого» ребёнка и не навредят ему, а вырастет он как раз таким, каким его хотели видеть.

По словообразовательной модели фамилия относится к украинскому типу на -а/-я. В официальных документах прозвище Байдужа закрепилось без изменений, без типичных русских суффиксов -ов или -ин. Это указывает на южнорусское или украинское происхождение рода. Встречается фамилия преимущественно на территории современной Украины и в южных областях России, куда переселялись казаки и крестьяне.

С точки зрения ударения и написания фамилия устойчива: Байду́жа, с ударением на второй слог. Вариантов вроде Байдужо́в или Байду́жин не зафиксировано — это подчёркивает сохранность исходной прозвищной формы. В дореволюционных метрических книгах фамилию могли записать через «и» — Байдужа, но смысл оставался тем же.

Сравнение с однокоренными фамилиями показывает, что Байдужа стоит особняком. Встречаются Байдужев, Байдужко, но все они образованы от той же основы «байдужий». Однако именно форма на -а сохранила первоначальный облик прозвища без позднейших переоформлений. Социальный контекст: носителями фамилии чаще всего были крестьяне и казаки, реже — мещане. Дворянских родов с такой фамилией не отмечено.