Фамилия Баюшина — женская форма фамилии Баюшин, и её разговорное окончание -а указывает на то, что перед нами, скорее всего, не дворянская, а крестьянская или мещанская фамилия, образованная по самой распространённой в России модели. В основе лежит мужское личное имя или прозвище Баюша.

Разбираем корень. «Баюкать» — укачивать, убаюкивать. В русских говорах «баюша» или «баюшка» — это ласковое обращение к ребёнку, а также человек, который любит спать, соня. В северных и сибирских диалектах «баюн» — говорун, краснобай, тот, кто заговаривает, усыпляет бдительность. Прозвище Баюша могли дать либо спокойному, медлительному человеку, либо, наоборот, тому, кто любил рассказывать сказки и байки — своего рода убаюкиватель словами. Вторая версия менее очевидна, но имеет право на существование, если вспомнить, что глагол «баять» (говорить) и «баюкать» (укачивать) — исторические родственники.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Баюшин — сын Баюши. Это типичная «посессивная» модель, характерная для фамилий, образованных от имён и прозвищ, оканчивающихся на -а или -я. Так было с Иваном — Иванов, а с Гришей — Гришин. Фамилия Баюшин могла возникнуть в разных регионах независимо, но наиболее вероятна её связь с северными и центральными губерниями России, где диалектные слова «баюн» и «баюша» были в ходу.

Интересно, что фамилия Баюшин встречается в документах XVII–XVIII веков, но не как родовая, а как прозвищная или отческая. Например, в переписных книгах можно найти крестьян с прозвищем Баюша, которое затем закрепилось за их потомками. В современной России фамилия редкая, не имеет ярко выраженной географической привязки, что говорит о её древнем, но не массовом происхождении.

Таким образом, предки носительницы фамилии Баюшина с высокой вероятностью были крестьянами или посадскими людьми, а их родоначальника в быту называли Баюшей — либо за любовь к долгому сну, либо за умение заговаривать зубы и рассказывать байки.