Фамилия Баюшов — русская, образованная по стандартной патронимической модели с суффиксом -ов. В основе лежит неканоническое имя или прозвище Баюш. Это уменьшительно-ласкательная форма от глагола «баять» — говорить, рассказывать, сказывать, а также заговаривать, ворожить. В древнерусском языке «баюн» (или «баюн», «баян») — говорун, краснобай, сказочник; «баюш» — тот же корень, только с ласкательным суффиксом -уш. Таким образом, Баюш — это «маленький говорун» или ласковое прозвище ребенка, который рано начал говорить, любил рассказывать истории.

Версия о происхождении от глагола «баюкать» (укачивать, убаюкивать) менее вероятна. Хотя формально корень тот же, но для прозвища взрослого человека «баюн» или «баюш» в значении «сказитель» — более распространенная модель в русской ономастике. В словаре древнерусских личных имен встречается имя Баян (Баюн), от которого пошли фамилии Баянов, Баюнов, Баюшев. Баюшов — тот же ряд, но с другим суффиксом.

Географически фамилия редкая. Основные очаги — традиционные русские области: Вологодчина, Архангельская губерния, Поволжье. В этих регионах диалектное слово «баять» сохранялось дольше всего, а прозвища от глаголов речи были обычны. Первые письменные фиксации возможны в переписных книгах XVII века, но без конкретного источника утверждать это рискованно. В XIX веке носители фамилии — преимущественно крестьяне и мещане, реже — духовенство (в среде священников тоже ценилось красноречие, но фамилии там чаще давали по названиям церквей или по латинским/греческим корням).

С точки зрения словообразования фамилия прозрачна: основа Баюш + патронимический суффикс -ов (чей? — сын Баюша). Аналогичные по модели фамилии: Баюшев, Баянов, Баюков, Балагуров, Бахвалов. Все они образованы от прозвищ, связанных с речью. Если сравнивать с фамилией Баюшев, то разница только в суффиксе: -ев появляется после мягкого согласного (Баюш — Баюшев), но фамилия Баюшов, скорее всего, закрепилась в форме с твердым окончанием из-за влияния акающих говоров или просто как исторически сложившийся вариант.

Таким образом, предок носителя фамилии Баюшов, вероятно, получил прозвище за любовь к рассказам, сказкам или за красноречие. Это не ремесло, а личная черта — «говорун», «сказитель». Фамилия не дворянская, не аристократическая, но живая и редкая, сохранившая в себе древний корень русского языка.