Фамилия Баюшова — женская форма, а её мужской вариант — Баюшов. С точки зрения словообразования это типичная «патронимическая» фамилия, образованная с помощью суффикса -ов от прозвища или имени Баюш. Основа здесь — древнерусское некалендарное имя Баюн (или Баюнко). В старину баюном называли говорливого, краснобайного человека, рассказчика сказок и баек (от глагола «баять» — говорить, рассказывать). Имя было широко распространено в Новгородской и Псковской землях, где сохранилось множество фамилий с этим корнем.

Примечательная деталь: форма Баюш — это уменьшительно-ласкательный вариант от Баюн, с характерным для северо-западных говоров суффиксом -уш- (как в именах Тимош от Тимофей или Микуш от Николай). Таким образом, Баюш — это не просто «говорун», а скорее «маленький говорун» или ласковое прозвище ребёнка, который рано начал лепетать. Встречается и другая версия: в некоторых диалектах «баюш» означало «любимец», «баловень», что тоже восходит к глаголу «баять» в значении «ублажать, утешать» (отсюда же колыбельное «баю-бай»).

С географической точки зрения фамилия Баюшов (и Баюшова) тяготеет к Поволжью и Уралу — в этих регионах фиксируются основные кланы носителей. Это косвенно указывает на то, что фамилия могла закрепиться в среде бывших государственных крестьян или однодворцев, переселявшихся на восток в XVII–XVIII веках. В дворянских родословных книгах фамилия не значится, что подтверждает её крестьянско-посадское происхождение.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Баюков, Баюшев, Баянов — показывает, что все они образованы от разных форм одного корня. Фамилия Баюшова выделяется именно своей «ласкательной» суффиксальной формой, которая в современном языке почти утрачена. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, родоначальник был человеком общительным, любившим поговорить, или же, наоборот, его так в детстве называли за сладкий сон — в зависимости от того, на каком из значений остановиться.