Фамилия Базалиева — женская форма от Базалиев, и её разбор стоит начать с суффикса. Модель на -ев указывает на патроним (отчество) или прозвище отца: чей? — Базалиев, то есть сын или потомок Базалия. Суффикс -ев, а не -ов, типичен для основ, оканчивающихся на мягкий согласный или «й». Здесь основа — Базалий.

Корень фамилии — имя или прозвище Базалий. Самое прямое объяснение: это форма канонического имени Василий, но с местной фонетической перестройкой. В южнорусских и украинских говорах начальное «в» перед гласной нередко выпадало или заменялось на «б»: Василий — Базилий — Базалий. Подтверждение тому — фамилии Базилев, Базилевич, Базалеев. Так что предок носителя фамилии, скорее всего, был крещёным человеком по имени Василий, а в быту его звали Базалий.

Есть и вторая, менее вероятная версия: от тюркского слова «базар» (рынок) через прозвище Базар, которое в русской среде могло трансформироваться в Базалий. Но для такой переделки нет убедительных лингвистических параллелей, а выпадение «р» в корне нехарактерно. Поэтому версия с народной формой Василия выглядит правдоподобнее.

Географически фамилия Базалиева встречается в основном на Северном Кавказе, особенно в Кабардино-Балкарии и Ставропольском крае. Это не случайно: русские переселенцы на юг приносили с собой южнорусские говоры, где «Базалий» было естественным обиходным вариантом. Кроме того, в этих местах фамилия могла закрепиться и у кавказских народов через браки или русификацию местных имён.

Социально фамилия не несёт следов дворянского происхождения — суффикс -ев в сочетании с простонародной формой имени указывает на крестьянскую или казачью среду. Предки Базалиевых, вероятно, были государственными или вольными крестьянами, а на юге — казаками, для которых характерны были именно такие патронимические фамилии без книжной обработки.