Фамилия Баженеев — редкий пример, когда основа ясна, а суффикс ставит в тупик. Корень здесь — «бажен», от древнерусского нецерковного имени Бажен. В старой Руси так называли желанного, долгожданного ребёнка (от глагола «бажать» — желать, хотеть). Имя было настолько популярным, что породило десятки фамилий: Баженов, Бажанов, Баженков, Баженовский. Но вот суффикс «-еев» — редкость.

Обычно фамилии на «-еев» образуются от основ, оканчивающихся на «-ей» (например, Андрей → Андреев) или на мягкий согласный. В случае с Баженеев мы видим наращение «-е-» между корнем и типичным «-ев». Это могло возникнуть в диалектной речи: если имя Бажен в некоторых говорах произносили как «Бажень» (с мягким «н»), то притяжательное прилагательное звучало бы как «Баженеев» — «чей? — Баженеев сын». В документах XVII–XVIII веков, когда фамилии только закреплялись, писцы могли записать форму на слух, не унифицируя её по московскому образцу.

Географически фамилия тяготеет к северным и центральным губерниям — Архангельской, Вологодской, Костромской. В этих краях имя Бажен и его производные встречались особенно часто среди крестьян и посадских людей. Сословного барьера не было: долгожданного сына могли назвать Баженом и в боярской, и в крестьянской семье. Однако по фамилии Баженеев, в отличие от массового Баженова, почти не видно дворянских корней — скорее всего, предки были государственными или монастырскими крестьянами, реже — мещанами.

Спорных версий здесь немного. Иногда «бажен» путают с диалектным «бажоный» — любимый, лелеемый, но это тот же корень. Есть гипотеза о тюркском происхождении (от «баж» — дань, подать), но она слабая: имя Бажен фиксируется в русских летописях и берестяных грамотах задолго до активных контактов с тюрками. Так что для носителя фамилии Баженеев ответ прост: предок был желанным ребёнком, а необычная форма фамилии — всего лишь местный говор и случайность бумажной записи.