Фамилия Баженкава — редкий случай, когда написание сразу указывает на возможную ошибку или диалектное произношение. В русской ономастике нет суффикса -кав-, поэтому перед нами почти наверняка искажённая запись фамилии Баженков или Баженкова. Основа здесь — «Бажен», которая восходит к древнерусскому нецерковному имени Бажен. В словарях Даля и Фасмера «баженый» означает «желанный», «милый», «любимый». Так в дохристианской Руси называли долгожданного ребёнка, чтобы уберечь его от злых сил: считалось, что нечисть не позарится на того, кого не слишком ценят.

Если же фамилия действительно закрепилась в форме Баженкава, то это могло произойти в регионах с акающим говором (южные области России, Украина, Беларусь), где безударное «о» переходило в «а». Письменная фиксация на слух дала бы не «Баженкова», а «Баженкава». Такая замена встречается в метрических книгах XIX века, где неграмотные писари или сами носители фамилии записывали её так, как слышали. В этом случае фамилия образована по стандартной модели: к основе Бажен- добавился суффикс принадлежности -ов-, а затем — окончание, указывающее на женский род или на форму множественного числа (например, «семья Баженковых»).

Есть и третья, менее вероятная версия: связь с диалектным словом «баженка» — так в некоторых говорах называли корову, отелившуюся телёнком женского пола, или просто ласковое обращение к животному. Но тогда фамилия должна была бы писаться как Баженкин или Баженкина. Судя по написанию, наиболее правдоподобно, что Баженкава — это фонетический вариант фамилии Баженкова, а её носители происходят из семьи крестьян или мещан, где предка звали Баженом.