Фамилия Базилевских — одна из тех, где окончание -их указывает на происхождение от прозвища или имени, обозначавшего главу семьи. В основе лежит греческое мужское имя Базилеус (Базилевс), то есть «царь». По-русски его осмыслили как «царский» или «царственный», и от этой основы образовали фамилию по модели, типичной для северных и сибирских говоров: ответ на вопрос «чьи будете?» — Базилевских.

Носители фамилии — нетитулованный российский и малороссийский дворянский род. Родоначальником считают малороссиянина Анисима Базилевского, жившего в XVII веке. Потомки Анисима попали в 6-ю часть дворянских родословных книг Владимирской и Полтавской губерний — это означало, что дворянство было древним, добытым до 1685 года. Известный представитель рода — Измаил (Исмаил) Николаевич Базилевский (1881–1941), иерей.

Форма Базилевских, а не Базилевский или Базилевские, встречается реже и выдаёт регион бытования: такие фамилии на -их/-ых крепко держатся на Русском Севере, в Вятке, в Сибири, а также в некоторых чернозёмных областях. В дворянских списках чаще писали Базилевские (множественное число) или Базилевский (единичное), а вариант на -их — это уже народная, бытовая фиксация, которая закрепилась в документах.

Интересная деталь: от греческого «базилевс» в русском языке образовались и другие фамилии, например, Базилев, Базилевич, Базилевский. Но форма с суффиксом -их — самая редкая и локально привязанная. Если встречаете Базилевских, скорее всего, предки жили в тех краях, где на вопрос «откуда родом?» отвечали не по отцу, а по роду: «мы Базилевских».