Фамилия Базильская — женская форма от Базильский, и сразу бросается в глаза её книжный, нерусский корень. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий, образованных от крестильных имён (Иванов, Петров) или прозвищ, основа здесь — латинское Basilius, восходящее к греческому «басилейос» — царский. В русскую традицию это имя пришло в форме Василий, но фамилия Базильский явно возникла не из народного просторечия, а из среды, где было принято латинизированное или полонизированное звучание.

Самый вероятный путь появления — польское или западнорусское дворянство. В Речи Посполитой фамилии на -ский считались шляхетскими, а имя Базиль (польск. Bazyli) было распространено среди униатов и католиков. Владелец поместья или уважаемый человек мог получить прозвание по имени отца или по названию имения, но в любом случае суффикс -ский указывает на принадлежность к привилегированному сословию, а не на крестьянское происхождение. В России после разделов Польши такие фамилии встречались среди мелкой шляхты, перешедшей на русскую службу.

Существует и более прозаичная версия: фамилия могла возникнуть от географического названия вроде деревни Базили или Базилевка. Таких топонимов на территории Украины и Беларуси немало — например, село Базилевка на Хмельниччине. В этом случае Базильский — это «тот, кто родом из Базилей», и никакой связи с именем нет, просто название места, которое, в свою очередь, могло произойти от того же корня.

Интересно, что мужская форма Базильский встречается крайне редко, а женская Базильская — ещё реже. Это фамилия, которая не «залежалась» в архивах, а, скорее всего, принадлежала небольшой группе потомков обедневшего дворянства или духовенства (священники нередко брали себе «учёные» фамилии на -ский). В современной России она почти не встречается за пределами нескольких семей, в основном в центральных областях и на юге. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в метрических книгах бывших польских губерний — Волынской, Подольской или Гродненской.