Фамилия Базылина — женская форма, а мужская, Базылин, образована по самой распространённой в русской ономастике модели: основа плюс суффикс -ин. Этот суффикс в русских фамилиях указывает на принадлежность: «чей?» — «сын такого-то» или «работник такого-то». В данном случае основа — имя или прозвище Базыла.

Что такое «Базыла»? Тут есть две версии, и обе имеют право на существование. Первая — от канонического крестильного имени Василий. В диалектах и просторечии «Василий» могло сокращаться до «Вася», «Васюта», «Васюра» и, с характерной для русских говоров заменой «в» на «б» (явление, известное лингвистам), превратиться в «Базыла». Такая замена встречалась в южнорусских и некоторых среднерусских говорах: «Василий» — «Базылий», отсюда и прозвище. Вторая версия — от глагола «базать» или «базланить», что в диалектах значит «кричать, громко говорить, плакать». Тогда Базыла — прозвище крикливого, шумного человека. Обе версии правдоподобны, но первая (от имени) встречается чаще в фамилиях на -ин, поскольку суффикс -ин изначально оформлял притяжательность от личных имён.

Сравните с однокоренными фамилиями: Базылев, Базылин, Базанов. У них та же основа, но разные суффиксы. Базылев — от имени Базыль (форма того же Василия), а Базанов — от прозвища Базан (крикун или, в других говорах, базарный торговец). Фамилия Базылина, таким образом, стоит в одном ряду с этими фамилиями, но с суффиксом -ин, характерным для северных и центральных регионов России, в отличие от -ов, более распространённого на юге.

Географически фамилия Базылин (и её женская форма) не привязана к одной области. Встречается и в центральных губерниях, и в Поволжье, и на Урале — там, где бытовали диалектные формы имени Василий. В сословном отношении носители фамилии были, скорее всего, крестьянами или посадскими людьми, реже — духовенством (поскольку священникам часто давали фамилии от имён, но с книжным суффиксом -ский). Дворянских родов с такой фамилией в истории не зафиксировано.

Коротко: предки современных Базылиных — это люди, которых в быту звали Базылой, то есть либо Василиями на местный лад, либо крикунами. Фамилия не редкая, но и не массовая, что говорит о её локальном происхождении в конкретных семьях, а не о едином родоначальнике.