Фамилия Бедиашвили — грузинская, и её разговор стоит начать не с корня, а с суффикса. Окончание -швили переводится как «дитя» или «рождённый» и в грузинской ономастике указывает на происхождение: буквально «дитя такого-то». В отличие от фамилий на -дзе (которые чаще встречаются в Западной Грузии), -швили более распространены в Восточной Грузии, особенно в Кахетии и Картли. Так что носители фамилии Бедиашвили, скорее всего, родом именно оттуда.

Основа «Бедиа» — это не профессия и не прозвище, а личное имя или его сокращённая форма. В грузинском языке слово «беди» (ბედი) означает «судьба», «участь», «счастье». Имя Бедиа или Бедия — довольно редкое, но встречающееся; оно могло даваться ребёнку как пожелание счастливой судьбы. Соответственно, Бедиашвили — это «дитя Бедиа», то есть потомок человека по имени Бедиа. Фамилия образована по той же модели, что и, например, Давиташвили (от Давит) или Георгашвили (от Георгий).

Есть и вторая, менее вероятная версия: основа могла восходить к топониму — названию местности или села Бедиа. В Грузии действительно существует село Бедиа в Абхазии, известное своим средневековым собором. Но в таком случае фамилия скорее звучала бы как Бедиели (по модели «откуда родом»), а не Бедиашвили. Поэтому версия с личным именем выглядит убедительнее.

В историческом контексте фамилии на -швили в основном носили крестьяне и ремесленники, реже — князья и дворяне (у тех преобладали фамилии на -дзе и -ели). Бедиашвили — типичная фамилия свободного сельского населения, без указания на знатное происхождение. Встречается она нечасто, но устойчиво: носители живут в Грузии, а также в диаспоре — в России, Турции и странах Европы.

Итог простой: фамилия Бедиашвили означает «потомок счастливого человека» или «дитя Судьбы», если переводить имя Бедиа по смыслу. Никакой путаницы с другими корнями здесь нет, и это один из тех редких случаев, когда этимология прозрачна и не требует сложных реконструкций.