Фамилия Бегени — редкий случай, когда географический акцент считывается почти сразу. Она явно не великорусская по происхождению, а скорее южнославянская, венгерская или, что вероятнее всего, молдавская/румынская. В русском языке фамилии на -и без окончания -н (вроде Бегин или Бегинин) встречаются редко, а вот в Молдове, Румынии и на Балканах модель на -и, -у, -еску распространена повсеместно.

Разбираем основу. Корень «беген» (Begeni) вряд ли связан с русским «бегать» или «берег». В тюркских языках «беген» может означать «уважаемый, почтенный» (от «бек» — господин). Но для молдавского ареала правдоподобнее версия от венгерского «béke» (мир) или румынского «băgăreț» (усердный, работящий). Впрочем, есть и более прозаическое объяснение: фамилия могла образоваться от прозвища человека, который родом из населённого пункта Бегень — такие топонимы встречаются в Венгрии и Трансильвании. Тогда Бегени — это указание на место жительства: «тот, кто из Бегеня».

Суффикс -и в данном случае — типичный для венгерских фамилий показатель принадлежности (сравните: Сегеди — из Сегеда, Дебрецени — из Дебрецена). Если фамилия действительно венгерского корня, предки носителя могли быть переселенцами из Закарпатья или Трансильвании, которые в XVIII–XIX веках оседали на юге Российской империи — в Бессарабии, на Херсонщине, в Одесской губернии.

Второй, менее вероятный вариант — еврейское происхождение. Фамилия Бегени могла быть искажением ашкеназского Беген или Бегин (от ивритского «бен» — сын), но без характерного суффикса -зон или -ман эта гипотеза слабая.

Итог простой: Бегени — фамилия-топоним, скорее всего венгерская или молдавская. Носители этой фамилии в России и Украине — потомки выходцев из Карпатского региона, чьи предки получили прозвище по названию родного села или по черте характера (миролюбивый, работящий). Встречается она редко, и каждый её носитель — живое свидетельство миграционных процессов XIX века.