Фамилия Бегляков — из числа тех, что прямо указывают на прозвище родоначальника. В основе лежит слово «бегляк», то есть беглый человек. Самое очевидное объяснение: прозвище давали тому, кто самовольно покинул место жительства, сбежал от хозяина или с военной службы. В условиях крепостного права это был распространённый сценарий, так что социальный статус предка — беглый крестьянин или холоп — вполне вероятная версия.

Но не стоит торопиться с однозначным выводом. Ономастика знает случаи, когда внешне «криминальное» прозвище не несло негатива. Бегляком могли прозвать за лёгкую, быструю походку, за подвижность и непоседливость. Или же за трудолюбие и деловитость — в некоторых говорах «беглый» означало «проворный», «расторопный». Есть и профессиональная версия: предок мог быть гонцом или посыльным. В Древней Руси княжеские гонцы передвигались на лошадях, меняя их в сёлах по пути, — занятие требовало постоянного движения, что и могло закрепиться в прозвище.

Модель образования типична для восточнославянских фамилий: суффикс -ов присоединился к прозвищу Бегляк, дав отчество-фамилию «сын Бегляка». Интересно, что однокоренные фамилии (Бегунов, Беглов) фиксируются в источниках с конца XVI века: например, в 1590 году в Мещере упомянут Воин Иванович Бегунов. Это подтверждает древность корня.

Документы начала XX века сохранили конкретных носителей: Михаил Епифанович Бегляков родился в 1891 году в селе Владимировка (русский), а Пётр Федосеевич Бегляков — в 1861 году в Могилёвской губернии, деревня Полки (Белоруссия). Оба примера показывают, что фамилия бытовала и в великорусских, и в белорусских землях, что неудивительно для прозвища, связанного с мобильностью населения.