Фамилии Бекренев и Бекренёв — это варианты одного родового имени, различающиеся только ударением. Обе формы образованы по стандартной русской модели: к основе прозвища Бекрень добавили притяжательный суффикс -ев, указывающий на принадлежность «сын Бекреня» или «из семьи Бекреня». Суффикс -ев, а не -ов, появляется после мягких и шипящих согласных, что здесь закономерно.

Прозвище Бекрень восходит к глаголу «бекренить» — гнуть, клонить набок, или к возвратному «бекрениться» — гнуться, изгибаться, ломаться. В словаре В. И. Даля эти слова зафиксированы как живые, просторечные. Значение прозвища могло быть двояким. Первое — профессиональное: так могли назвать кузнеца, плотника или дровосека, чья работа связана с изгибанием, ковкой или рубкой. Второе — характеристическое: Бекренем называли человека неискреннего, изворотливого или, наоборот, ловкого и хитрого. Есть и третья, бытовая версия: прозвище закрепилось за тем, кто носил шапку «набекрень» — криво, набок, что в старину было заметной манерой.

Фамилия Бекренев (Бекренёв) не относится к числу самых частых, но встречается в разных регионах России. Точное место и время её возникновения установить сложно, так как процесс закрепления прозвищ в фамилии шёл несколько столетий. Однако можно уверенно сказать, что это прозвищная фамилия, а не искусственная семинарская или книжная.

Из известных носителей — Леонид Константинович Бекренев (1907–1997), адмирал, начальник Военно-дипломатической академии Советской Армии в 1967–1973 годах, кавалер ордена Ленина и четырёх орденов Красного Знамени. Его биография показывает, что фамилия бытовала в среде военных и не была связана с каким-то одним сословием.

В написании фамилии встречаются оба варианта — через «е» и через «ё». В документах и паспортах чаще пишут Бекренев, но произношение с ударением на последний слог (Бекренёв) тоже распространено. Это не ошибка, а орфографическая вариативность, типичная для русских фамилий на -ев/-ёв.