Фамилия Белеонков — один из тех случаев, когда на слух она кажется простой и прозрачной, а при детальном разборе ставит перед выбором между двумя разными корнями. В ней отчётливо слышится основа, похожая на «белый», но написание через «е» (а не «ё» и не «и») заставляет присмотреться внимательнее.

Словообразовательная модель здесь типична для русских фамилий: суффикс -ов- указывает на принадлежность («чей?»), а основа — Белеонк-. Это значит, что предка звали Белеонок. Такая форма имени или прозвища с суффиксом -онок/-ёнок характерна для северных и центральных русских говоров, где так называли детёнышей животных или молодых людей по отцу (сравните: волчонок, рыжонок). То есть Белеонок — это «маленький Белый» или «сын Белого».

Теперь о главном споре. Первая и самая очевидная версия: основа восходит к прилагательному «белый». Прозвище Белый на Руси давали светловолосым и бледнолицым людям, а также чистоплотным или, в некоторых диалектах, — «обеленным», то есть свободным от податей крестьянам. От сокращённой формы Бел- путём добавления суффикса -онок и получился Белеонок. Фонетически это нормально: в живой речи «белый» могло звучать как «белой», отсюда и написание через «е».

Вторая версия, менее распространённая, но имеющая право на существование, — связь с диалектным глаголом «беле́ть» или существительным «беле́нь» (так в некоторых областях называли белену — ядовитое растение). В этом случае прозвище Белеонок мог получить либо человек, занимавшийся сбором трав, либо, в переносном смысле, «одурманенный» или странный. Однако эта версия слабее: суффикс -онок редко присоединялся к глагольным основам без посредника (обычно сначала образовывалось имя на -ён, а уже от него — фамилия).

Географически фамилия редкая. Она не встречается в массовых списках дворянских родов и не привязана к конкретному уезду в старых писцовых книгах. Скорее всего, Белеонковы — это потомки крестьян или однодворцев из южнорусских или поволжских регионов, где фамилии на -онок/-ёнок особенно характерны (например, в бывшей Тамбовской, Рязанской или Воронежской губерниях). Там прозвище Белеонок могло закрепиться за младшим сыном в семье Белых, чтобы отличать его от отца.

Таким образом, Белеонков — это «сын Белого» или, если угодно, «Белёнок». Фамилия не переосмысливалась со временем и сохранила прямую связь с внешностью или социальным статусом предка.