Фамилия Белешников — один из тех случаев, когда очевидное на первый взгляд объяснение не выдерживает проверки. Напрашивается связь с «белый» или «белка», но словообразовательная модель указывает в другую сторону.

Основа фамилии — не прилагательное, а прозвище или имя Белешник. Суффикс -ник в русских прозвищах почти всегда указывает на человека по его занятию, месту жительства или характерному предмету. Белешник — это не «тот, кто белый», а «тот, кто имеет отношение к бели». Самое вероятное значение — «тот, кто белит», то есть мастер-белильщик. В старину белили не только стены и печи, но и холсты, и кожи. Прозвище Белешник мог получить ремесленник, занимавшийся отбеливанием тканей или выделкой белой кожи. Версия с белильщиком — основная и наиболее логичная с точки зрения типичных русских профессиональных прозвищ.

Менее распространённая, но возможная версия — связь с диалектным словом «белеш» или «белешка». В некоторых говорах так называли белый гриб или, реже, белый камень. Тогда Белешник — это человек, живший у белого камня или собиравший белые грибы. Однако такие прозвища обычно привязываются к местности и встречаются реже, чем профессиональные.

Фамилия образована по стандартной модели: прозвище на -ник дало основу, к которой добавили типичный русский патронимический суффикс -ов (чей? — Белешников). Фамилия недвусмысленно указывает на принадлежность к роду Белешниковых — потомков человека, которого в округе знали как Белешника.

Географически фамилия редкая и встречается в основном в центральных и северных областях России, где была развита отбелка льняных тканей — например, в Костромской, Ярославской, Вологодской губерниях. Встречаются и написания с одной «ш» — Белесников, но это уже результат упрощения в произношении, а не отдельная фамилия.

Таким образом, если ваши предки носили фамилию Белешников, с высокой вероятностью они были ремесленниками, которые белили холсты или кожи, — профессия для своего времени востребованная и уважаемая.