Фамилия Беляйцева — женская форма, мужская — Беляйцев. В основе лежит прозвище или неканоническое имя Беляец. Чтобы разобраться в происхождении, стоит посмотреть на словообразовательную цепочку: Беляй — Беляец — Беляйцев. Суффикс -ец в прозвищах и именах часто указывал на носителя признака: Беляец — это человек, которого называли «белый». Что именно стояло за этим прозвищем — вопрос открытый.

Самая прямая версия — внешность. Беляйцем на Руси могли назвать светловолосого, бледного или седого человека. Но не менее вероятна и социальная подоплёка: «белый» в старом русском обиходе означал «свободный», не зависимый от феодала. Беляйцем могли прозвать крестьянина, который вышел из крепостной зависимости, или вообще человека, освобождённого от податей. В некоторых говорах «беляй» — это ещё и чистюля, опрятный человек.

Фамилия образована по продуктивной модели с суффиксом -ов: от прозвища на -ец (Беляец) отсекали конечный -ц и добавляли -ев. Форма Беляйцев (и Беляйцева) — результат стяжения: Беляецев превратилось в Беляйцев. Встречаются и однокоренные фамилии — Беляев, Беляков, Белянкин, но Беляйцев стоит особняком: её основа содержит редкий суффикс -ец, что делает фамилию не такой частой, как, скажем, Беляев.

Географически фамилия Беляйцев (и Беляйцева) привязана к центральным и южным областям России. Встречается она в документах по Курской, Тамбовской, Воронежской губерниям — именно в тех краях, где прозвища на -ец были особенно распространены. Сословно носители фамилии в основном относились к крестьянам и мещанам, хотя отдельные ветви могли попасть и в купечество.

Таким образом, если ваши предки — Беляйцевы, скорее всего, их прозвали Беляйцем за светлую внешность или за особый социальный статус. Фамилия не дворянская, но крепкая, народная, и её редкость придаёт ей особую ценность для семейной истории.