Фамилия Бенкич звучит нехарактерно для русской ономастики — и это первое, что бросается в глаза. Суффикс -ич в русских фамилиях обычно маркирует отчество (как в Иванович), но в готовой фамилии он встречается редко и чаще указывает на западнославянское или южнославянское происхождение. В Сербии, Хорватии, Словении фамилии на -ич — одни из самых распространенных (сравните: Ивкович, Петрович). Так что Бенкич, скорее всего, пришла к нам с Балкан.

Основа фамилии — Бенк-. Это может быть сокращенная форма от имени Бенедикт (в южнославянской традиции — Бенко, Бенек) или же от венгерского имени Бенце (Bence). Венгерское влияние на хорватскую и сербскую антропонимию в исторических областях Славонии и Воеводины было сильным, поэтому вариант с венгерским корнем не менее вероятен. В любом случае, Бенкич — это патроним: «сын Бенко» или «потомок Бенко».

На русской почве фамилия могла появиться через миграцию — например, во время освоения Новороссии сербскими и хорватскими переселенцами в XVIII веке, или позже, в XX столетии. Встречается она в основном в южных регионах России и в Краснодарском крае, но в целом остается редкой. В отличие от типичных русских фамилий с суффиксами -ов или -ин, Бенкич не склоняется по падежам в мужском роде и сохраняет ударение на первом слоге — Бéнкич.

Искать в этой фамилии древнерусские корни или связь с каким-то ремеслом не стоит. Её история — это история перемещения людей и языков на границе славянского и венгерского миров. Если ваш предок носил фамилию Бенкич, он, скорее всего, был выходцем из западной части Балкан, а его имя-основа Бенко когда-то было ласковым домашним прозвищем.