Фамилия Бердичевский — классический пример топонимической фамилии, образованной от названия города. Она указывает на то, что предок носителя происходил из города Бердичев (ныне Житомирская область Украины) или жил в его окрестностях. Формант -ский в таких фамилиях (так называемый «дворянский» суффикс) на самом деле был распространён не только среди шляхты: его активно использовали мещане, купцы и духовенство. Для выходцев из западных и юго-западных земель Российской империи модель «город + -ский» была одной из самых употребительных при оформлении фамилий в XVIII–XIX веках.

Интересно, что Бердичев в истории — не просто рядовой уездный город. В XIX веке он был крупнейшим торговым центром Правобережной Украины и славился своей ярмаркой (так называемые «Бердичевские контракты»). Кроме того, здесь находилась одна из самых влиятельных еврейских общин региона. Поэтому фамилия Бердичевский могла возникнуть в среде разных сословий и национальностей: у поляков-католиков, у православных украинцев и у евреев-ашкеназов. У последних фамилия часто писалась через «ы» — Бердичевский, и её носителями были раввины, купцы и ремесленники, переехавшие из Бердичева в другие города черты оседлости.

В написании фамилии, которую вы указали — «Бердичевсий» — скорее всего, опечатка или просторечный вариант. Правильная литературная форма — Бердичевский. Реже встречается вариант Бердичевской (характерный для женской линии или для фамилий, оформленных по польскому образцу). Если ваш предок записан именно как Бердичевсий, это может быть следствием ошибки писаря при переписи или особенностью местного произношения (например, в говорах, где «с» и «ск» смешивались). Но корень фамилии — город Бердичев — остаётся неизменным.