Фамилия Бердочкин образована от прозвища или мирского имени Бердочка. В основе лежит слово «бердо» — деталь ткацкого станка, гребень или решётка, через которую пропускают нити основы. Бердочником называли мастера, который изготавливал эти детали, а само «бердо» — древнее слово, восходящее к общеславянскому корню со значением «бить, ударять» (отсюда же «бердыш» — холодное оружие, которым «бьют»). Уменьшительная форма Бердочка, скорее всего, закрепилась за человеком невысокого роста или худощавого телосложения — так в говорах могли прозвать «тонкого как бердо» или «согнутого как бердо». Возможен и вариант, что Бердочкой звали ребёнка ткача или подмастерья.

Суффикс -ин указывает на притяжательную модель: Бердочкин — «сын Бердочки». Такая модель типична для северных и центральных областей России, где фамилии на -ин столь же часты, как на -ов. Если бы основа оканчивалась на твёрдый согласный, мы бы видели Бердочков, но мягкое окончание «-чка» дало именно Бердочкин.

Фамилия редкая и локальная. В дореволюционных переписях она встречается в основном в Вятской и Костромской губерниях — районах развитого домашнего ткачества. Там же фиксировались и фамилии Бердников, Берденников, Бердов — все они из одного гнезда, но Бердочкин стоит особняком благодаря уменьшительному суффиксу. Ономасты (например, в работах В. А. Никонова) отмечают, что такие «ласкательные» формы прозвищ нередко становились фамилиями в крестьянской среде, где детей до совершеннолетия называли не полным именем, а домашним прозвищем.

Никакой связи с «бердянским» или «Бердянском» здесь нет — это случайное созвучие. Не стоит искать в фамилии иноязычные корни: она чисто русская, профессионально-бытовая, и её носители — потомки ремесленников, работавших с тканью. Если ваш предок Бердочкин, он почти наверняка жил в деревне, где ткали холсты, и само прозвище могло перейти в фамилию уже к концу XVII — началу XVIII века.