Фамилия Береговкий — редкий случай, когда написание расходится с ожидаемой логикой. На слух она почти неотличима от распространённой фамилии Береговской, но суффикс здесь другой: не -ск-, а -к-. Это указывает на иную модель образования, скорее украинскую или белорусскую, где фамилии с окончанием -кий часто писались без второго «с» (сравните: Запорожский — Запорозький). В русской традиции такие фамилии при переносе в документы могли «обрубать» суффикс или упрощать его под влиянием местного произношения.

Основа фамилии — «берег». Первый и самый очевидный вариант: предок жил на берегу реки, озера или моря. В говорах «береговкой» могли называть не только жителя побережья, но и человека, который работал на берегу: лодочника, рыбака, паромщика. Второй, менее известный вариант: в некоторых регионах «берег» означал не только край воды, но и возвышенность, сухое место среди болот. Тогда Береговкий — это человек с возвышенности, с холма.

Географически фамилия тяготеет к юго-западу бывшей Российской империи: чаще всего она встречается в исторических записях Черниговской, Киевской и Подольской губерний, а также в Беларуси. В современной России она редка и локализована. Если ваши предки носили фамилию Береговкий, велика вероятность, что родом они из черниговского Полесья или с берегов Днепра.

С точки зрения словообразования, это типичная «топографическая» фамилия, каких много у восточных славян: Заозерский, Подгорный, Луговой. Но суффикс -к- вместо -ск- делает её более камерной, указывая на возможное происхождение из среды крестьян или мещан, где фамилии часто оформлялись проще, без книжного «-ский». В дворянских родах такое написание — исключение.