Фамилия Березеско — редкий случай, когда украинская или польская основа «скрестилась» с молдавским суффиксом. Если отбросить окончание -о (типичное для украинских фамилий вроде Березенко), то корень здесь — «береза», а суффикс -еск- прямо указывает на географическое происхождение. В румынском и молдавском языках суффикс -escu (а в русской передаче часто -еско) означает «выходец из» или «принадлежащий к»: так образовывались фамилии от названий сел, рек или прозвищ. Березеско — человек, чьи предки жили в местности, где было много берез, или в селе с названием вроде Березы, Березовка.

Интересно, что фамилия не «перекочевала» в русскую модель на -ов, а сохранила исходную форму. Это говорит о том, что носители фамилии долгое время оставались в среде, где действовали молдавские или южнославянские ономастические правила. Встречается Березеско преимущественно на юго-западе Украины, в Одесской области, а также в Молдове.

По сути, это фамилия-топоним, но с двойной этимологической прозрачностью: и корень «береза» понятен каждому, и суффикс -еско выдает принадлежность к определенной культурной зоне. Сословно предки могли быть крестьянами или мещанами — фамилии на -еско в Молдове и Приднестровье носили и бояре, и простые люди, так что точнее сказать сложно.

Сравните с однокоренными Березовский, Березин, Березюк: все они отталкиваются от того же дерева, но каждый суффикс меняет историю. Березеско — самый «южный» вариант, и в этом его уникальность.