Фамилия Бережняк — не из тех, что образованы от крестильного имени. Её основа — прозвище, а возможных объяснений у него несколько. Самое очевидное связано с местом жительства: «бережняком» в старину называли лес, растущий по берегам рек и озёр. Человек, живший у такого леса или на берегу, мог получить прозвище Бережняк. Однако у слова есть и другое значение — заповедный, оберегаемый лес, заказник. В этом случае прозвище могло указывать на род занятий: предок мог быть лесником или смотрителем, который берёг угодья.

Есть и третья версия, более лингвистическая. Фамилия могла образоваться от прозвища Бережный с помощью украинского суффикса -як, который часто указывает на носителя признака. Само слово «бережный» означало «заботливый», «внимательный». Тогда прозвище Бережняк получил человек, отличавшийся аккуратностью и рачительностью. Эта модель словообразования — прозвище на -як от прилагательного — типична для украинской и южнорусской ономастики (сравните: Добряк, Весельчак). Какая из версий верна для конкретной семьи, сказать сложно: фамилия могла возникнуть в разных местах независимо и с разным смыслом.