Фамилия Бережнюк — типичный пример украинской модели образования фамилий. Её основа — прозвище или прилагательное Бережной, а суффикс -ук (в фонетическом варианте -юк) указывает на принадлежность: «сын Бережного» или «потомок Бережного». Такие фамилии особенно распространены в западных и центральных областях Украины, меньше — в Беларуси и на юге России.

Что касается значения самого прозвища Бережной, здесь есть несколько версий. Самая прямая — связь со словом «берег». Бережным могли назвать человека, который жил у реки или озера. В говорах так нередко определяли рыбаков, паромщиков или тех, кто держал дом на краю села у воды.

Другая версия отталкивается от глагола «беречь». В этом случае прозвище могло получить несколько разных по характеру людей: либо того, кого все опекали и оберегали (например, младшего или болезненного ребёнка), либо, наоборот, человека, который сам был бережливым, рачительным хозяином. Третье значение, близкое к этому, — «осторожный», «осмотрительный». В старину такое прозвище могло закрепиться за человеком, который не лез в рискованные дела и просчитывал наперёд.

Фамилия Бережнюк встречается и в написании через «о» — БережнЮк (с ударением на последний слог), что характерно для украинской ономастики. В русском языке под ударением чаще оказывается второй слог: БерЕжнюк. Оба варианта законны, но первый точнее передаёт исходную словообразовательную модель.

Таким образом, предки современных Бережнюков, скорее всего, были либо жителями побережий, либо людьми, которых в округе знали как заботливых или расчётливых хозяев. Точнее сказать трудно — прозвище многозначно, и без документов конкретной ветви определить, какое из значений сработало, невозможно.