Фамилия Березняцкий в первую очередь отсылает к берёзовому лесу — березняку. Однако просто «лесная» версия не объясняет суффикс. В фамилиях на -ский/-цкий этот элемент часто указывает на географическую привязку: так могли назвать человека, который жил в селе или посёлке Березняки. Таких топонимов в России несколько, самый известный — в Ярославской области. Переселенец оттуда и получал прозвище Березняцкий, которое затем закрепилось как фамилия.

Но есть и другой путь образования. Суффикс -цкий мог присоединиться к прозвищу Березняк. Березняком в крестьянском быту называли не просто лес, а человека, связанного с берёзой: заготовителя веников, углежога, торговца дровами. Берёзовый уголь ценился в кузнечном деле, а веники шли в банный промысел — так что прозвище могло быть профессиональным. Реже Березняком звали сына или домочадца человека по имени Береза — такое имя в старину встречалось, хоть и нечасто.

Словообразовательная модель здесь типична для восточнославянских фамилий: основа «березняк» + суффикс -цкий, который выполняет роль притяжательного или указательного элемента. Похожим образом возникли фамилии Дубняцкий, Ольшанский, Сосняцкий — все они выводятся из названий лесных массивов или связанных с ними прозвищ.

Сословно фамилия не закреплена за дворянством: Березняцкие встречаются среди крестьян, мещан, реже — духовенства. В польской традиции фамилии на -цкий чаще были шляхетскими, но в русском контексте этот суффикс не даёт указания на знатность.

Коротко: если ваш предок — Березняцкий, он либо родом из деревни с берёзовым названием, либо в его роду был человек, чей промысел или прозвище связали с берёзой. Оба варианта правдоподобны, и выбрать между ними можно только по конкретным архивным записям о месте жительства семьи.