Фамилия Березняцкая — это женская форма, а её основа — мужское прозвище или фамилия Березняцкий. В основе лежит слово «березняк», то есть берёзовый лес. Скорее всего, прозвище Березняцкий дали человеку, который жил в лесной местности, рядом с берёзовой рощей, или был с ней как-то связан.

Однако есть и другие версии. Прозвище Березняк (без суффикса -цк-) могли дать тому, кто заготавливал и продавал берёзовые веники или дрова. Это был распространённый промысел в лесных районах. Кроме того, в старину имя Береза могло быть нецерковным, языческим именем, и его сын или домочадец получил бы прозвище Березняк.

Важная деталь — суффикс -цк- в фамилии Березняцкая. В русской ономастике фамилии на -ский/-цкий часто указывают на географическое происхождение. Поэтому вполне вероятно, что предок носителя этой фамилии был выходцем из какого-либо селения с названием Березняки. Таких топонимов в России много, например, посёлок Березняки в Ярославской области. В этом случае фамилия отвечала на вопрос «откуда родом?» и закрепляла за человеком прозвище по месту прежнего жительства.

Суффикс -цк- в женской форме Березняцкая (а не Березняковская) — вариант, характерный для фамилий, образованных от названий на -ики/-яки. Если бы основа была просто Березняк, фамилия звучала бы как Березняков или Березнякин. Форма на -цкий говорит о более книжном, «дворянском» или польско-украинском влиянии, но в русской среде такие фамилии нередко давали крестьянам, переселившимся из одной деревни в другую.

Таким образом, фамилия Березняцкая — это либо «лесная» фамилия по роду занятий или месту жительства, либо «географическая», указывающая на выходцев из конкретной деревни Березняки. Потомок человека по прозвищу Березняцкий или Березняк со временем получил фамилию, которая закрепилась в роду.