Фамилия Березняя звучит как прилагательное в женском роде, но в русской традиции она закрепилась в качестве фамилии для мужчин и женщин. Её основа — дерево берёза, а суффикс -н- и окончание -яя указывают на то, что перед нами типичная фамилия-прилагательное, образованная по модели «какой?» (ср. Толстая, Седова). Такие фамилии в старину не склонялись по родам: мужчина мог быть записан как Березний, а женщина — Березняя, но в советских паспортах форма часто унифицировалась.

Слово «березняк» означает берёзовый лес. В говорах встречалось и прозвище Березня — так могли назвать человека, жившего в берёзовой роще или рядом с ней. Но есть и другая, менее очевидная версия: в некоторых диалектах «березня» называли берёзовую кору или лучину, которой пользовались для освещения. Тогда прозвище могло достаться тому, кто заготавливал берёсту или делал лучины.

Фамилия редкая и почти не встречается за пределами южнорусских и украинских областей. В списках казачьих войск, особенно кубанских и донских, можно найти следы фамилии Березний или Березняя — казаки часто получали прозвища по местности, где стоял их курень. Если ваш предок носил эту фамилию на Кубани или в бывшей Слобожанщине, скорее всего, он был выходцем из крестьян или казаков, чей дом стоял у берёзового леса.

С точки зрения словообразования фамилия интересна тем, что сохранила архаичную форму притяжательного прилагательного. В отличие от массовых фамилий на -ов/-ев, которые отвечали на вопрос «чей?», Березняя отвечает на вопрос «какой?» — это прямая характеристика человека, а не указание на отца. Поэтому её носители в прошлом могли быть людьми, получившими прозвище за связь с берёзой, а не по роду занятий или имени предка.