Фамилия Березняк — из числа тех, что образованы напрямую от нарицательного слова, без дополнительных суффиксов принадлежности. Основа здесь — «березняк», то есть берёзовый лес. В древнерусском языке так называли не только лес, но и берёзовый хворост, а также место, где рубят берёзу на дрова. Человек мог получить прозвище Березняк, если жил у берёзовой рощи, торговал берёзовыми дровами или выделывал из берёзы что-то нужное в хозяйстве.

Но это прозвище могло выполнять и другую, обереговую роль. Березовые ветви у славян считались одним из самых сильных оберегов. Давая ребёнку «лесное» имя, родители словно прятали его за деревом, надеясь, что злые силы не найдут и не тронут. В этом смысле Березняк — имя-оберег, а не просто указание на место жительства.

Символика берёзы в культуре глубока и многослойна. У скандинавов она была атрибутом богини земли Нертус, у кельтов из берёзовой коры делали погребальные шапки, а друиды использовали берёзу в мистериях зимнего солнцестояния. Тюркская богиня Умайя, по преданиям, спустилась на землю с двумя берёзами. У народов Севера берёза — шаманское дерево, соединяющее землю и небо: зарубки на стволе символизировали лестницу в высшие миры. Камчадалы вплетали берёзовые ветви в обряды праздника метёл. У славян берёза стойко ассоциировалась с девичеством, чистотой и белым цветом — семантика берёзы почти всегда связана со светом и началом.

Не исключено, что фамилия Березняк ведёт своё начало не от прозвища, а от названия конкретного места — посёлка Березняки в Ярославской области. В его основе лежит городище дьяковской культуры III–IV веков. Это был посёлок патриархальной общины: несколько жилищ отдельных семей, общий дом, кузница, амбар для зерна, загон для скота, постройка для женских работ и погребальное сооружение. Посёлок стоял на берегу Волги, а основным занятием жителей были скотоводство и земледелие. Если предок носителя фамилии был родом из этих Березняков, то фамилия закрепилась за ним по месту выхода, без всякой лесной символики — просто «человек из Березняков».

Так что у фамилии Березняк два равноправных пути: прозвищный, с мощным обереговым подтекстом, и топонимический, привязанный к конкретному древнему поселению. Какой из них верен для конкретной семьи — без генеалогического поиска не скажешь.