Фамилия Берлински — это типичный случай, когда географическая основа «переехала» в фамилию через польскую или еврейскую модель словообразования. Суффикс -ски (-ский) указывает на дворянское или шляхетское происхождение в Польше и на западе России, но в массовом порядке так оформляли и фамилии еврейского населения в XIX веке. В данном случае основа — «Берлин» — не оставляет сомнений: предок носителя фамилии был родом из Берлина или имел с этим городом прочную связь.

Разберём словообразовательную модель. Фамилия Берлински — это вариант фамилии Берлинский, адаптированный под польскую или западную орфографию (окончание -ski вместо -ский). Такое написание характерно для выходцев из бывшей Речи Посполитой — поляков, белорусов, украинцев, а также евреев, которые в XIX веке при записи фамилий в метрических книгах часто получали форму на -ски. Если предок был православным, фамилия скорее закрепилась бы как Берлинский. Форма Берлински указывает на католическое или иудейское вероисповедание семьи в момент фиксации фамилии.

Географическая привязка фамилии неоднозначна. С одной стороны, Берлин — столица Германии, и фамилия могла возникнуть у немца, переселившегося в Польшу или на восток. С другой стороны, в Польше есть несколько деревень с названием Берлин (например, Берлин в Лодзинском воеводстве). В таком случае фамилия Берлински — топонимическая, от названия поместья или хутора, где жил её первый носитель. Но для еврейских фамилий характерна именно связь с крупным городом: Берлин был одним из центров еврейской эмиграции, и фамилию часто давали тем, кто приехал оттуда.

Спорные версии встречаются редко. Иногда пытаются связать основу с немецким словом Bär («медведь») — мол, Берлин от медведя, а фамилия от прозвища. Но это натяжка: в русской и польской ономастике прозвища от названий городов давали именно по месту жительства, а не по символике герба. Правдоподобнее всего считать Берлински «выезжей» фамилией: предок переехал из Берлина в польские земли или в черту оседлости Российской империи, и его потомки получили фамилию по городу исхода.

Социальный контекст: в Польше фамилии на -ски до XVIII века носили исключительно шляхтичи, но к XIX веку они распространились среди мещан и крестьян. Еврейские Берлински чаще всего были купцами, ремесленниками или раввинами — именно эти сословия активно мигрировали. Дворянская ветвь возможна, но редка: для неё характерна форма Берлинский, а не Берлински.

Итог коротко: фамилия Берлински — топонимическая, образована от названия города Берлин или одноимённого села в Польше. Суффикс -ски и окончание -и выдают польское или еврейское происхождение. Предок, скорее всего, был переселенцем из немецких земель или жителем польской деревни Берлин.