Фамилия Бертышева — женская форма фамилии Бертышев, и её происхождение стоит искать в мужском прозвище или имени, которое легло в основу. Сама фамилия довольно редкая, что сразу наталкивает на мысль о локальном или профессиональном корне, не получившем широкого распространения.

Наиболее вероятная версия связывает фамилию с диалектным словом «бертыш» или «бердыш». Бердыш — это старинное холодное оружие, разновидность топора на длинном древке, которым в XVI–XVII веках были вооружены стрельцы и городовая стража. Прозвище Бертыш (или Бердыш) могли дать человеку, который либо изготовлял такое оружие (оружейнику), либо умело им владел, либо обладал внешним сходством — например, был широкоплеч и грузен. В русских говорах слово могло искажаться: «бердыш» превращалось в «бертыш» через замену звонкого «д» на глухое «т» под влиянием соседних звуков или местного произношения.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с тюркским именем Бирдыш или Бердыш, что в переводе означает «дал» (как часть сложного имени вроде «Бог дал»). Такие имена были распространены у татар и башкир, и фамилия могла возникнуть на стыке русской и тюркской культур, например, в Поволжье или на Урале. Однако для фамилии Бертышева эта версия слабее: русский суффикс -ев (в мужском варианте Бертышев) чётко указывает на славянскую модель образования от прозвища или имени, а не на прямое заимствование.

Суффикс -ев в фамилии Бертышев говорит о том, что она образована от основы, оканчивающейся на шипящий или мягкий согласный (в данном случае на «ш»). Это типичная патронимическая модель: «сын Бертыша». Само прозвище Бертыш, скорее всего, было неофициальным и закрепилось за одним человеком, а затем перешло к его потомкам. В дореволюционной России фамилии такого типа чаще всего встречались среди крестьян и посадских людей, особенно в северных и центральных губерниях, где сохранялись архаичные названия предметов быта и вооружения.

Таким образом, если ваши предки носили фамилию Бертышевы, с высокой долей вероятности они происходят из среды ремесленников или служилых людей, связанных с оружейным делом. Прямых указаний на дворянское происхождение или принадлежность к известным родам у этой фамилии нет, что подтверждает её «земледельческий» или «ремесленный» корень.