Фамилия Беске — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В русской ономастике у неё, скорее всего, две основные версии, и обе ведут в разные стороны.

Первая и самая вероятная — фамилия немецкая или балтийско-немецкая. В немецком языке слово «Beske» (или диалектное «Bäske») могло быть прозвищем человека с какой-то особой приметой или профессией. Например, оно родственно слову «Besen» — метла. Прозвище могли дать либо метельщику, либо человеку с жёсткими, торчащими волосами (сравните с русским «ершистый»). Фамилия могла попасть в Россию вместе с переселенцами при Екатерине II или с остзейскими дворянами и ремесленниками. В таком случае её носителями были обрусевшие немцы, которые сохранили исходное написание.

Вторая версия — фамилия могла возникнуть на русской почве, но из иноязычного корня. В северо-западных регионах (Псковская, Новгородская области, Прибалтика) фамилия могла быть записана от финно-угорского или прибалтийского прозвища. Сравните с эстонским «pesa» (гнездо) или «pääske» (освобождение) — но это уже область догадок, так как прямых словарных параллелей нет.

Словообразовательная модель указывает на то, что фамилия не имеет типичного русского суффикса (-ов, -ин, -ский). Она застыла в форме, близкой к исходному прозвищу. Это характерно для фамилий, которые пришли в русскую среду уже готовыми, без переделки на русский лад. Географически Беске встречается в основном на юге России и в Сибири — там, куда ссылали или переселяли немцев, а также в Москве и Санкт-Петербурге.

Исторических записей о фамилии Беске в древнерусских актах нет — это говорит о её позднем появлении в русском именослове, не ранее XVIII века. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в метрических книгах лютеранских церквей или в списках колонистов Поволжья.