Фамилия Безгонов — редкий случай, когда в основе лежит не профессия, не личное имя, а, скорее всего, запрет или отсутствие. Разбираем её по косточкам.

Корень здесь — «гон». В древнерусском языке «гон» означало не только погоню, но и расстояние, участок пути, а также право на охоту или рыбную ловлю (отсюда «гоняти»). Человек, которого прозвали Безгоном, мог быть тем, кто не имел права на этот самый «гон» — то есть на определённый промысел, на выпас скота на общинном лугу или на проезд по чужой земле. Или же, что менее вероятно, прозвище дали неповоротливому, медлительному человеку — «без гона», то есть без резвости, без прыти.

Суффикс «-ов» указывает на принадлежность: сын Безгона. То есть фамилия образована от прозвища отца. Такая модель — самая распространённая в русской среде, но сама основа «Безгон» — большая редкость. В отличие от фамилий Безруков, Безносов, где очевиден физический недостаток, Безгонов — случай социальный или хозяйственный. Предок носителя этой фамилии, скорее всего, был крестьянином или охотником, которого по каким-то причинам ограничили в доступе к общему ресурсу: отрезали от угодий, лишили права на охоту.

В ономастических словарях эта фамилия не относится к числу частотных. Её географическое распространение — преимущественно центральные и южные регионы России, где было развито общинное землепользование и охотничьи угодья. Встречаются варианты написания с одной «н» — Безгонов, и это норма для фамилий, образованных от слов с конечным «н» в основе (сравните: Безруков, но Безгонов — потому что основа «Безгон»). Искать знаменитых носителей среди дворянских родов не стоит: прозвище слишком приземлённое, чтобы попасть в гербовники. Эта фамилия — метка крестьянского быта, где каждое слово имело вес и прямое отношение к тому, как человек добывал хлеб.