Фамилия Бежаевы — одна из тех, где за простым звучанием скрывается несколько возможных историй. Её основа — личное прозвище Бежай, а сама фамилия образована по стандартной русской модели с суффиксом -ев, который присоединялся к основам на мягкий согласный или -й. Если отбросить окончание, остаётся корень, напрямую связанный с глаголом «бежать».

Самая прямая версия: Бежаем называли бегуна. Но прозвище могло указывать не на скорость, а на манеру поведения — человека, который всё делает на бегу, суетливо и неаккуратно. В этом случае прозвище носило не столько уважительный, сколько ироничный оттенок. Другое объяснение — профессиональное: гонец или посыльный, чья работа требовала постоянного движения. В древности такая должность была заметной, и прозвище легко могло закрепиться за человеком и перейти к его детям.

Менее очевидная, но интересная версия отсылает к древнеславянскому слову «бежа». Так называли башню на городских стенах, временное полевое укрепление или высокий шатёр. Если предок Бежаевых жил рядом с такой постройкой или нёс там службу, прозвище Бежай могло возникнуть по месту жительства или роду занятий. Эта гипотеза правдоподобна, но менее распространена, чем «беговая», поскольку слово «бежа» рано вышло из активного употребления.

Географически фамилия встречается нечасто, и её очаги рассеяны. Это говорит о том, что прозвище возникало в разных местах независимо, а не передавалось от одного общего предка. Точное время появления фамилии Бежаевы установить сложно: процесс закрепления прозвищ в качестве фамилий шёл несколько столетий, и в разных регионах он завершился в разное время.