Фамилия Бежаев образована от прозвища Бежай. В основе лежит глагол «бежать», поэтому первое, что приходит на ум, — прозвище для быстрого человека, бегуна. Однако смысл мог быть и другим: Бежаем называли того, кто всё делал на бегу, суетливо и неаккуратно, то есть прозвище указывало на неусидчивый характер.

Но есть и менее очевидная версия. В древнеславянском языке существовало слово «бежа» — так называли башню на городских стенах, временное полевое укрепление или высокий шатёр. В этом случае прозвище Бежай мог получить человек, живший у городских стен или возле сторожевой башни. Эта версия менее распространена, но лингвистически обоснована: связь между словом «бежа» и прозвищем прямая.

Не исключено и профессиональное происхождение прозвища: Бежаем могли назвать гонца или посыльного — того, чья работа требовала постоянного движения и скорости.

Фамилия построена по стандартной модели: прозвище на -ай (Бежай) плюс типичный русский суффикс принадлежности -ев. Такой способ образования характерен для большинства русских фамилий, сформировавшихся в XV–XVII веках. Суффикс -ев, а не -ов, указывает на то, что основа прозвища оканчивалась на мягкий согласный или й.

География фамилии неширокая. Бежаевы встречаются преимущественно в центральных и южных регионах России, что косвенно подтверждает её древнее, а не позднее искусственное происхождение. В дворянских родословных книгах фамилия не зафиксирована — скорее всего, предки были крестьянами или посадскими людьми.