Фамилия Безрукавин образована от прозвища Безрукавый — и здесь важна не одежда сама по себе, а то, кому её полагалось носить. Чаще всего безрукавку (поддёвку или полушубок без рукавов) надевали кучера и дворники: она давала свободу рукам при работе на холоде. Прозвище могло закрепиться за человеком по роду занятий — и тогда фамилия указывает на профессию предка.

Но у Безрукавого были и другие значения, и они различались по регионам. В Тамбовской и Тульской губерниях так называли человека неопрятного, ленивого, вялого — того, кто «ходит без рукавов», спустя рукава. В Приуралье прозвище получал хвастун и лгун, а в чернозёмной полосе — болтун. Получается, что одна и та же основа могла нести совершенно разную оценку в зависимости от местности.

Обратите внимание на суффикс: фамилия Безрукавин, а не Безрукавов. Формант -ин указывает на принадлежность: «чей сын?» — Безрукавин, то есть сын Безрукавого. Такая модель типична для фамилий, образованных от прозвищ на -а/-я, и встречается реже, чем -ов/-ев. Это одна из деталей, которая делает фамилию более редкой по сравнению, скажем, с Безрукавыми.

Слово «безрукавый» — старое прилагательное, которое со временем почти вышло из обихода. В современном языке мы говорим «безрукавка», а фамилия сохранила архаичную форму. Точное время и место возникновения фамилии Безрукавин установить сложно: фамилии в России складывались веками, и документальные свидетельства по таким редким прозвищам часто утрачены. Однако ясно, что перед нами не случайное сочетание корней, а живой след народной речи — прозвищной, профессиональной или бытовой, в зависимости от того, в какой губернии жил ваш предок.