Фамилия Безуглянная — редкий случай, когда написание с двумя «н» не ошибка, а грамматически оправданная форма. В русском языке прилагательные на -анный/-янный обычно пишутся с одной «н» (например, «ветреная»), но если в основе есть суффикс -ан- и ударение на нём, то в полной форме появляется двойное «н»: безуглянный — от «без угля». Так что это не искажение, а вполне логичное образование, хотя в быту фамилию могли записывать и как Безугляная — оба варианта встречаются.

Смысл фамилии прозрачен: «тот, кто без угля». В крестьянском быту уголь был не просто топливом, а основой кузнечного дела, отопления и даже ремесла (углежжение). Прозвище Безуглянный могли дать человеку, у которого не было ни собственного угля, ни средств на его покупку — бедняку, которому нечем топить печь или раздувать горн. Вторая, более узкая версия связана с кузнецами: кузнец «без угля» — это либо неудачник, у которого погас горн, либо ремесленник, работавший не с углём, а на сырце (что было признаком низкого мастерства).

Фамилия явно позднего происхождения — она не могла возникнуть в допетровскую эпоху, когда прозвища редко фиксировались в такой форме. Скорее всего, её оформили в XVIII–XIX веках, когда крестьянам массово присваивали фамилии по прозвищам. Географически она тяготеет к южнорусским и украинским говорам: там суффикс -янный в фамилиях встречается чаще, чем на севере (сравните с украинской фамилией Безвугляк). Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Безу́глянная, хотя в устной речи могли смещать.

Среди однокоренных фамилий — Безугольный, Безуглов, Углов, Угольников. Но Безуглянная стоит особняком: она не про угол дома, а про конкретный вид топлива, что сразу указывает на среду обитания предков — не дворянскую усадьбу, а ремесленный посад или крестьянскую избу. Дворянских родов с такой фамилией не было: она из разряда «говорящих» прозвищ, которые закрепились за простыми людьми.