Фамилия Безуглая — женская форма фамилии Безуглый. В основе прозвище Безуглый, и сразу возникает вопрос: отсутствие чего скрывается за приставкой без-? Самая распространённая версия — бытовая. «Безуглым» называли бездомного, того, у кого нет своего угла, пристанища. Эта трактовка лежит на поверхности и встречается чаще других.

Но есть и неожиданный поворот. В некоторых говорах слово «угол» могло относиться не к жилью, а к форме. Безуглым дразнили полного, упитанного человека с округлой, «безугольной» фигурой. Такое прозвище давали скорее с добродушной иронией, чем с обидой. Ещё один вариант связан с ремеслом: так могли сказать про мастера, который работал гладко, без заусенцев и острых углов — то есть делал вещь качественно, «без сучка и задоринки».

Словообразовательная модель простая: приставка без- + корень -угл- + суффикс -ый. Фамилия типична для южнорусских и украинских земель, где форма на -ый (а не -ой) была нормой. В украинском языке прилагательное «безуглий» означает «не имеющий угла» — и в прямом, и в переносном смысле.

Какая из версий правдоподобнее? Трудно сказать однозначно. Версия про бездомность логична, но слишком прямолинейна для прозвища — обычно такие ярлыки вешали не на бедняков, а на людей с заметной внешностью или характером. Поэтому версия про округлую фигуру выглядит не менее весомой. В любом случае, фамилия Безуглая — не про «отсутствие углов» в геометрии, а про человека, которого так окрестили за яркую черту: либо бездомного, либо круглого, либо мастера без изъяна.