Фамилия Безугленко образована от прозвища Безуглый по распространённой украинской модели с суффиксом -енко, который означает «сын» или «потомок». То есть Безугленко — это буквально «сын Безуглого». Такая модель в XVI–XVII веках закрепилась на землях современной Украины как основная форма фамилий, особенно среди казачества и крестьянства.

Значение прозвища Безуглый напрямую связано с приставкой без- и корнем -угол. В русских и украинских говорах «угол» — не только геометрическое понятие, но и метафора дома, крова («свой угол»), а также резкости, остроты характера или формы.

Первая версия — прозвище по внешности. Безуглым могли назвать полного, упитанного человека с округлой фигурой, без резких угловатых черт. В этом случае прозвище носило бытовой описательный характер.

Вторая версия — по качеству работы. Мастера, который делал вещи гладко, без заусенцев и углов, в народе могли прозвать Безуглым. Такое прозвище было бы почётным: оно подчёркивало умение и аккуратность.

Третья версия — социальная. Безуглым называли бездомного, не имеющего своего угла. В крестьянской среде, где дом и хозяйство определяли статус человека, такое прозвище могло закрепиться за бедным или пришлым человеком.

Какая версия правдоподобнее? Ономастические данные по фамилиям с приставкой без- (Безруков, Безродный, Бездомов) показывают, что чаще всего такие прозвища отражали физический недостаток или отсутствие какого-либо значимого в быту предмета. Для Безуглого наиболее вероятно значение «не имеющий своего угла» — именно эта версия укладывается в типичную модель образования «отсутствие чего-то важного». Однако исключать прозвище по внешности тоже нельзя: в говорах слово «угловатый» означало худого, костистого человека, а его антоним «безуглый» — полного.

Фамилия Безугленко не относится к дворянским — это типичная крестьянская и казачья фамилия. В документах XVIII–XIX веков она встречается в основном в Полтавской, Харьковской и Екатеринославской губерниях. В современной России носители фамилии рассеяны, но наибольшая концентрация сохраняется в Ростовской области и Краснодарском крае — регионах, куда переселялись украинские крестьяне.