Фамилия Бикрев образована по одной из самых распространённых в русской ономастике моделей: основа плюс суффикс -ев. Этот суффикс указывает на принадлежность: Бикрев — сын или потомок человека по прозвищу Бикерь. Вопрос в том, что скрывается за этим прозвищем.

Самая прямая и вероятная версия отсылает к диалектному глаголу «бикрить» или существительному «бикря». В южнорусских и, особенно, в рязанских и тамбовских говорах «бикря» — это упрямый, своенравный человек, который делает всё наперекор. Прозвище Бикерь мог получить человек с тяжёлым, неуступчивым характером. Слово «бикрить» означало «гнуть, клонить, ломать» — отсюда и образ упрямца, которого не переспорить.

Менее распространённая, но возможная версия — тюркское происхождение основы. Слово «бикр» в некоторых тюркских языках означает «крепкий, твёрдый». В пользу этой гипотезы говорит то, что фамилия Бикрев встречается в Поволжье и Приуралье, в зоне активных контактов славянского и тюркского населения. Однако, в отличие от многих фамилий на -ев с очевидной тюркской основой (Бикбаев, Бикмурзин), здесь нет характерного аффикса, и версия с русским диалектным корнем выглядит надёжнее.

Фамилия не относится к числу частых. Её география — преимущественно центральные и южные области европейской части России, а также регионы, куда шли переселенческие потоки из этих мест. Среди носителей фамилии нет громких исторических фигур, что типично для прозвищных фамилий, закрепившихся за крестьянскими и мещанскими родами.

Таким образом, Бикрев — это фамилия-характеристика. Предок носителя, скорее всего, получил прозвище за свой нрав: его называли Бикерем — упрямым, гнущим свою линию человеком. Со временем прозвище забылось, а фамилия осталась.