Фамилия Биркая — редкая, и её происхождение неочевидно. Чтобы понять корень, нужно отбросить окончание -ая, которое в русских фамилиях чаще всего указывает на прилагательное женского рода (в форме полного прилагательного). Однако для фамилий, оканчивающихся на -кая, норма — мужской вариант Биркай или Биркой, а женский — Биркая. Но если мы имеем дело с фиксированной формой без родовой пары, то перед нами, скорее всего, фамилия, образованная от прозвища или географического названия, которое уже имело окончание -ая.

Самая вероятная версия — тюркское происхождение. Основа «бир» по-тюркски означает «один», а «кая» — «скала», «утес». Вместе «Биркая» можно перевести как «одна скала» или «единый утес». Такое прозвище могли дать человеку крепкому, несгибаемому, одинокому, либо тому, кто жил возле одиноко стоящей скалы. В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) подобные составные имена и прозвища встречаются, и они легко могли перейти в фамилию при русификации.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с грузинским или абхазским словом «бирка» (палка, трость) с добавлением суффикса прилагательного. Однако в таком случае фамилия звучала бы как Биркия или Биркаев. Учитывая окончание -ая, которое типично для южнорусских и украинских фамилий (например, Бирюковая, Белая), можно предположить, что предок Биркая был выходцем с юга России или с Кубани, где активно селились тюркоязычные народы.

Фамилия не входит в список распространённых дворянских или купеческих родов. Скорее всего, она крестьянская или казачья: прозвище закрепилось за одним человеком, а затем перешло к его потомкам без изменений. Встречаемость фамилии крайне низкая, что говорит о её локальном происхождении — возможно, от названия одного хутора, урочища или речки, которая называлась Биркая.