Фамилия Биркова — женская форма, а её мужской вариант Бирков. В основе фамилии лежит прозвище или нецерковное имя Бирко. Такие имена на Руси давали по внешним или поведенческим признакам, и здесь ключевой оказывается звуковая ассоциация с глаголом «биркать» — в некоторых говорах это означало «ворчать», «брюзжать», «говорить невнятно или сердито». Человек, получивший прозвище Бирко, скорее всего, отличался сварливым или ворчливым нравом — и это закрепилось за ним в быту, а затем перешло в фамилию.

Модель образования простая: суффикс -ов (в женском роде -ова) указывает на принадлежность — буквально «сын Бирка» или «из семьи Бирка». Это типичная патронимическая фамилия, каких много в русском ономастиконе. Интересно, что основа «бирк-» встречается реже, чем более привычные «ворчун» или «брюзга» в качестве прозвищ, поэтому фамилия Бирков/Биркова — не массовая, а довольно редкая.

Есть и другая, менее очевидная версия. В некоторых северных и сибирских говорах «бирка» — это палка или дощечка с зарубками для счёта, а также метка на улье или дереве. В таком случае прозвище Бирко мог получить человек, занимавшийся учётом или меткой имущества, например, сборщик податей или лесной сторож. Однако эта версия слабее: прозвища от названий предметов обычно образуются с суффиксом -а (Бирка), а не -о (Бирко). Форма на -о характерна для личных имён и прозвищ, описывающих характер.

С точки зрения географии фамилия встречается разрозненно, без ярко выраженного «гнезда» в одном регионе. Это говорит о том, что прозвище возникало в разных местах независимо. В дореволюционных источниках Бирковы фиксируются среди крестьян и мещан — то есть сословной привязки нет, это фамилия, возникшая в народной среде.

Таким образом, если вы ищете корни фамилии Биркова, наиболее вероятная история такова: предок был человеком с непростым характером, за что и получил прозвище Бирко, а его дети и внуки стали Бирковыми.