Фамилия Блажийчук — редкая, и её анализ начинается не с корня, а с суффикса. Суффикс -ук (в украинском произношении -чук) указывает на западноукраинское происхождение, чаще всего с территории современной Ивано-Франковской, Львовской или Тернопольской областей. В этой модели -чук означает «сын» или «потомок», то есть Блажийчук — буквально «сын Блажия». Проблема в том, что имени или прозвища «Блажий» в славянских святцах нет. Это неканоническое, мирское имя.

Корень «блаж-» в русском и украинском языках имеет два противоположных значения. Первое — церковнославянское: «блажить» значит «восхвалять», «ублажать», «делать добро». Второе, просторечное — «блажной», то есть взбалмошный, капризный, своенравный человек. В украинском языке слово «блаж» также может означать «дурь» или «прихоть». Какая из этих версий легла в основу прозвища — вопрос контекста. Если предок был набожным, певчим в церкви или просто добрым человеком, его могли прозвать Блажий в положительном смысле. Если же он отличался неуживчивым нравом, прозвище могло быть ироничным.

Фамилия Блажийчук — типичная для крестьянского и казачьего сословия Правобережной Украины. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев, которые часто давались по отцу (Иван — Иванов), украинские фамилии на -чук закрепляли принадлежность к роду, а не к конкретному человеку. Поэтому носитель такой фамилии в XIX веке — скорее всего, не помещик и не духовное лицо, а свободный селянин или ремесленник.

Написание фамилии могло меняться: в метрических книгах встречаются варианты Блажук, Блажейчук, Блажийчук. Двойное «и» в корне — результат украинской орфоэпии, где «ий» звучит как долгий [ий]. В русской записи фамилию могли упростить до Блажуков, но исходная форма сохранила характерный западноукраинский колорит.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то Благий (от «благо») и Блаженный (от «блаженство») — более частые и понятные. Блажийчук стоит особняком: его корень многозначен, а суффикс выдает точную географию. Носитель этой фамилии почти наверняка имеет предков из Галиции или Волыни, где в XVI–XVIII веках и сложилась эта патронимическая модель.