Фамилия Близеев — редкий случай, когда основа, скорее всего, диалектная или искажённая, а не от очевидного «близкий». Если бы фамилия происходила напрямую от прилагательного «близкий», мы бы видели форму Близков или Близнецов. Суффикс -еев указывает на образование от прозвища или имени, оканчивающегося на -ей или -ай.

Самая вероятная версия: в основе лежит прозвище Близей. В русских говорах «близей» могло означать «близкий человек», «сосед» или «родственник». Но есть и более конкретное значение: в псковских и тверских говорах «близиться» значило «приближаться», а «близня» — «близнец». Однако форма Близеев не совпадает с типичными «близнецовыми» фамилиями (Близнецов, Близнюк). Поэтому логичнее предположить, что Близей — это прозвище человека, который всегда держался рядом, был «близким» в прямом или переносном смысле, возможно, приживальщиком или свойственником.

Менее распространённая, но допустимая версия — связь с топонимом. В России есть несколько мелких деревень с названиями вроде Близеево (например, в бывшей Вятской губернии). В таком случае фамилия могла возникнуть, когда крестьянина, переселившегося из этой деревни, называли по месту прежнего жительства: «Близеев» — выходец из Близеева. Но поскольку топоним сам, скорее всего, произошёл от того же прозвища, это не меняет сути.

Словообразовательная модель проста: основа Близей + суффикс -ев (вариант -ов после мягкого согласного). Фамилия фиксируется в документах с XIX века, преимущественно в южнорусских и центральных губерниях, но массового распространения не получила. Встречается она редко, что говорит о локальном происхождении прозвища.

Итог: предок носителя фамилии Близеев, скорее всего, получил прозвище Близей за свою «близость» к кому-то или чему-то — либо по родству, либо по соседству, либо по характеру. Это не фамилия от церковного имени, а чисто бытовое, «мирское» прозвище, каких много в русской ономастике.