Фамилия Бочихин — редкий пример отчества, образованного по северной модели с суффиксом -их-. В центральной и южной России фамилии на -их (Рыжих, Глухих) обычно застывали в форме родительного падежа множественного числа и не склонялись. Но в северных говорах, особенно в Архангельской и Вологодской губерниях, бытовали патронимы на -ихин: от прозвища или имени в родительном падеже (Бочиха → Бочихин). То есть предок носителя фамилии — сын некоего Бочихи, где «Бочиха» — прозвище женщины либо форма мужского имени Боча.

Корень «боч-» чаще всего связывают с бочкой — ёмкостью для жидкостей. Слово «боча» в диалектах означало «толстый, пузатый человек», похожий на бочку. Прозвище Боча могли дать полному мужчине или бондарю, делавшему бочки. В говорах встречается и глагол «бочить» — «идти вбок, клониться на сторону»; отсюда Боча — человек, который ходит вразвалку. Форма Бочиха — либо жена Бочи, либо вдова, оставшаяся с детьми и получившая прозвище по мужу. В северных деревнях женщины часто звались по мужу: Иваниха, Степаниха, Бочиха.

Суффикс -их- в фамилиях — надёжный маркер происхождения из русского Севера или Вятки. По переписям XVII–XVIII веков фамилии на -ихин встречаются в Шенкурском, Холмогорском, Устюжском уездах. Бочихины, скорее всего, крестьяне или посадские люди, не дворяне: в боярских и дворянских родах такие суффиксы почти не употреблялись.

Вторая версия, менее вероятная: фамилия могла возникнуть от имени Бочиха как самостоятельного прозвища — например, от слова «бочка» в значении «основательная, крепкая женщина». Но ономастика обычно предпочитает объяснение через патроним: сначала прозвище отца Боча, затем мать — Бочиха, затем сын — Бочихин.

Таким образом, Бочихин — «сын Бочихи», внук или потомок человека по прозвищу Боча. Фамилия крестьянская, северная, редкая. Поиск по современным базам показывает, что большинство Бочихиных живёт в Кировской области и Пермском крае — то есть в зоне вятского и уральского переселения из Архангельского севера.