Фамилия Бочкорёв — редкий случай, когда написание через «ё» не факультативно, а принципиально. В подавляющем большинстве русских фамилий ударение падает на суффикс, и буква «е» читается как «ё» только в устной речи, а на письме её опускают. Здесь же корень «бочкар» под ударением, и «ё» закреплено орфографически: Бочкарёв, а не Бочкарев. Искать фамилию нужно именно в таком варианте.

Основа фамилии — прозвище Бочкарь. В южнорусских и украинских говорах так называли бондаря, мастера по изготовлению бочек. Суффикс «-арь» указывал на человека по профессии: так же образованы слова «пекарь», «писарь», «звонарь». Фамилия, таким образом, относится к категории «профессиональных»: предок носителя был ремесленником, делавшим бочки.

Интересно, что в русской ономастике фамилия на «-ёв» от основы на «-арь» встречается нечасто. Обычно от таких прозвищ образуют фамилии через суффикс «-ов» с беглой гласной: Бондарев, Пекарев. Вариант Бочкарёв сохранил ударение на корне, что характерно для говоров, где слово «бочкарь» произносили с чётким «а» под ударением, а не с редуцированным «о».

Географически фамилия тяготеет к югу России — к Курской, Воронежской, Ростовской областям, а также к Украине. Встречается и в среде донских казаков, где бондарное дело было одним из основных промыслов. Сословно это почти наверняка крестьянская или мещанская фамилия: дворянские роды с таким окончанием редки и обычно имеют иную основу.

Сравните с однокоренными: Бочкарёв (через «арь») и Бочкарников (через «ник»). Первое — прямое указание на мастера, второе — на владельца бочки или торговца бочками. Фамилия Бочкарёв древнее и проще по смыслу: предок не торговал, а работал руками, и прозвище закрепилось за ним в быту, а затем перешло к детям.