Фамилия Бодашков образована от прозвища или нецерковного имени Бодашко. В основе этого имени лежит либо глагол «бодать» (бодаться), либо диалектное слово «бодаш» — так в южных и западных говорах называли человека с большим лбом, упрямого или того, кто любил спорить, «бодаться» словесно. Суффикс -ко в русских и украинских фамилиях часто указывает на уменьшительную или прозвищную форму: Бодашко — «маленький бодач» или «сын Бодая», а Бодашков — уже «чей-то потомок», то есть сын, внук или человек из рода Бодашко.

Фамилия относится к распространённому типу на -ов, который типичен для центральной России и севера Украины. Встречается она нечасто, но имеет чёткую географическую привязку: по данным современных телефонных справочников и архивов, большинство носителей фамилии Бодашков проживают в Белгородской, Курской и Воронежской областях, а также на востоке Украины — в Харьковской и Сумской областях. Это указывает на южнорусское или украинское происхождение рода.

В ономастике нет единого мнения о том, было ли слово «бодаш» самостоятельным прозвищем или же это усечённая форма от более сложных имён вроде Богдан (Богдаш → Бодаш). Вторая версия менее убедительна: перестановка «г» на «д» в народной речи встречается, но для фамилии Бодашков нет прямых исторических записей, подтверждающих такую трансформацию. Правдоподобнее считать, что предок получил прозвище за характер или внешность — упрямый, лобастый, склонный к спорам.

Однокоренные фамилии — Бодаков, Бодалов, Бодягин — тоже редки, но их объединяет общий корень «бод-», связанный с боданием. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» этот корень упоминается в ряду прозвищных фамилий, образованных от названий действий.

Таким образом, фамилия Бодашков — типичная для южнорусского региона прозвищная фамилия, указывающая на характер или внешность родоначальника. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами или однодворцами из чернозёмной полосы.